一、 DDA的基本原理
由高等数学可知，求函数  对  的积分运算，从几何概念上讲，就是求此函数曲线 所包围的面积  （图2—7），即
若把自变量的积分区间[  ,  ]等分成许多有限的小区间  （其中  ），这样，求面积可以转化成求有限个小区间面积之和，即
数字运算时，Δt一般取最小单位“1”，即一个脉冲当量，则
由此可见，函数的积分运算变成了变量的求和运算。当所选取的积分间隔Δt足够小时，
则用求和运算代替求积运算所引起的误差可以不超过允许的值。
二、 DDA直线插补
设我们要对  平面上的直线进行脉冲分配，直线起点为坐标原点  ，终点为  ，如图2-8所示。
图2-8 合成速度与分速度的关系
假定  和  分别表示动点在  和  方向的移动速度，则在 和 方向上的移动距离微小增量  和  应为
 （2—5）
对直线函数来说， 和 是常数，则下式成立：
 （2—6）
式中K为比例系数。
在Δt时间内，x和y位移增量的参数方程为
 （2—7）
动点从原点走向终点的过程，可以看作是各坐标每经过一个单位时间间隔Δt分别以增量  和  同时累加的结果。经过m次累加后，x和y分别都到达终点 ，即下式成立：
 （2—8）
则 
或  （2—9）
上式表明，比例系数K和累加次数  的关系是互为倒数。因为m必须是整数，所以  一定是小数。在选取K时主要考虑每次增量 或 不大于1，以保证坐标轴上每次分配进给脉冲不超过一个单位步距，即
= <1
= <1
式中  和  的最大容许值受控制机的位数及用几个字节存储坐标值所限制。如用TP801（Z80）单板机作控制机，用两个字节存储坐标值，因该单板机为8位机，故 和 的最大容许寄存容量为216-1=65 535。为满足 <1及 <1的条件，即
= （216-1）<1
= （216-1）<1
则 
如果取  ，则  ，即满足 <1的条件。这时累加次数为
 次
一般情况下，若假定寄存器是n位，则 和 的最大允许寄存容量应为2n-1（各位全1时），若取
则
显然，由上式决定的Kxe和Kye是小于1的，这样，不仅决定了系数  ，而且保证了Δx和Δy小于1的条件。因此，刀具从原点到达终点的累加次数m就有
当 时，对二进制数来说， 与 的差别只在于小数点的位置不同，将 的小数点左移n位即为 。因此在n位的内存中存放 （ 为整数）和存放 的数字是相同的，只是认为后者的小数点出现在最高位数n的前面。
当用软件来实现数字积分法直线插补时，只要在内存中设定几个单元，分别用于存放 及其累加值  和 及其累加值  。将 和 赋一初始值，在每次插补循环过程中，进行以下求和运算：
+ →
+ →
将运算结果的溢出脉冲Δx和Δy用来控制机床进给，就可走出所需的直线轨迹。
综上所述，可以得到下述结论：
数字积分法插补器的关键部件是累加器和被积函数寄存器，每一个坐标方向就需要一个累加器和一个被积函数寄存器。一般情况下，插补开始前，累加器清零，被积函数寄存器分别寄存 和 ；插补开始后，每来一个累加脉冲 ，被积函数寄存器里的内容在相应的累加器中相加一次，相加后的溢出作为驱动相应坐标轴的进给脉冲 （或 ），而余数仍寄存在累加器中；当脉冲源发出的累加脉冲数m恰好等于被积函数寄存器的容量2n时，溢出的脉冲数等于以脉冲当量为最小单位的终点坐标，刀具运行到终点。
数字积分法插补第Ⅰ象限直线的程序流程图如图2-11所示。
图2-11 DDA直线插补流程图
下面举例说明DDA直线插补过程。设要插补图2—12所示的直线轨迹OA，起点坐标为 （0，0），终点坐标为  （7，10）。若被积函数寄存器Jvx和Jvy，余数寄存器 JRx和JRy，以及终点减法计数器JE均为四位二进制寄存器，则迭代次数为m=24=16次时插补完成。在插补前，JE，JRx，JRy均为零，Jvx和Jvy分别存放 =7（即二进制的0111）， =10（即二进制的1010）。在直线插补过程中Jvx和Jvy中的数值始终为 和 保持不变。本例的具体轨迹如图2-12中的折线所示，由此可见，经过16次迭代之后， 和 坐标分别有7个和10个脉冲输出。直线插补轨迹与理论曲线的最大误差不超过1个脉冲当量。
图2-13 DDA直线插补过程
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三、 DDA圆弧插补
以第Ⅰ象限逆圆为例，设刀具沿圆弧  移动，半径为R，刀具的切向速度为  ,  为动点（如图2—13），
图2-13 DDA圆弧插补
则有下述关系：
式中  为比例常数。因为半径  为常数，切向速度 为匀速，所以 可认为是常数。
在单位时间增量  内，  和  位移增量的参量方程可表示为
 （2—10）
 （2—11）
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根据此两式，仿照直线插补方案用两个积分器来实现圆弧插补，如图2—14（a）所示。图中系数K的省略原因和直线时类同。但必须指出：第一，坐标值 和 存入寄存器Jvx和Jvy的对应关系与直线不同，恰好位置互调，即 存入Jvx，而x存入Jvy中。第二，Jvx和Jvy寄存器中寄存的数值与直线插补时还有一个本质的区别：直线插补时Jvx（或Jvy）寄存的是终点坐标xe（或ye），是个常数；而在圆弧插补时寄存的是动点坐标，是个变量。因此在刀具移动过程中必须根据刀具位置的变化来更改速度寄存器Jvx和Jvy中的内容。在起点时，Jvx和Jvy分别寄存起点坐标值y0和x0；在插补过程中，JRy每溢出一个  脉冲，Jvx寄存器应该加“1”；反之，当JRx溢出一个  脉冲时，Jvy应该减“1”。减“1”的原因是刀具在作逆圆运动时 坐标须作负方向进给，动坐标不断减少。图2—14中用  及Ө表示修改动点坐标时这种加“1”或减“1”的关系。图2—14（b）为第Ⅰ象限逆时针走向的圆弧插补的数字积分器符号表示图。
图2－14 DDA圆弧插补运算框图及符号图
对于顺圆、逆圆及其他象限的插补运算过程和积分器结构基本上与第Ⅰ象限逆圆是一致的。其不同在于，控制各坐标轴的 和 的进给方向不同，以及修改Jvx和Jvy内容时是 还是Ө，要由 和 坐标的增减而定，见表2—5。
表2-5 DDA圆弧插补时的坐标修改情况
|
SR1 |
SR2 |
SR3 |
SR4 |
NR1 |
NR2 |
NR3 |
NR4 |
|
Jvx（y） |
一 |
+ |
一 |
+ |
+ |
一 |
+ |
一 |
|
Jvy（x） |
+ |
一 |
+ |
一 |
一 |
一 |
+ |
+ |
|
∆x |
+ |
+ |
- |
- |
- |
- |
+ |
+ |
|
∆y |
- |
+ |
+ |
- |
+ |
- |
- |
+ | 大容量的某一个数，如2 n/2，常用的则是预置最大容量值（称为置满数或全加载）和预置0.5（称为半加载）两种。
“半加载”是在DDA迭代前，余数寄存器JRx和JRy的初值不是置零，而是置1000…000（即0.5），也就是说，把余数寄存器JRx和JRy的最高有效位置“1”，其余各位均置“0”，这样，只要再叠加0.5，余数寄存器就可以产生第一个溢出脉冲，使积分器提前溢出。这在被积函数较小，迟迟不能产生溢出的情况时，有很大的实际意义，因为它改善了溢出脉冲的时间分布，减小了插补误差。
“半加载”可以使直线插补的误差减小到半个脉冲当量以内，一个显而易见的例子是：若直线OA的起点为坐标原点，终点坐标是A（15，1），没有“半加载”时，x积分器除第一次迭代没有溢出外，其余15次迭代均有溢出；而y积分器只有在第16次迭代时才有溢出脉冲（见图2—17（a））。若进行了“半加载”，则x积分器除第9次迭代没有溢出外，其余15次均有溢出；而y积分器的溢出提前到第8次迭代有溢出，这就改善了溢出脉冲的时间分布，提高了插补精度（见图2—17（a））。
图2-17 “半加载”后的轨迹
“半加载”使圆弧插补的精度得到明显改善。若对图2—17（b）的例子进行“半加载”，其插补轨迹如图中的折线所示，插补过程见表2—7。仔细比较后可以发现，“半加载”使x积分器的溢出脉冲提前了，从而提高了插补精度。
所谓“全加载”，是在DDA迭代前将余数寄存器JRx 和JRy的初值置成该寄存器的最大容量值（当为n位时，即置入2n-1），这会使得被积函数值很小的坐标积分器提早产生溢出，插补精度得到明显改善。
图2-18 “全加载”后的实际轨迹
点击进入动画观看半加载,全加载DDA圆弧插补
图2—18是使用“全加载”的方法得到的插补轨迹，由于被积函数寄存器和余数寄存器均为三位，置入最大数为7（111）。
五、 其他函数的DDA插补运算
为方便起见，现将各种积分单元符号重画于图2—19，其中增量 ， ， 直接写成了它们的微分形式  ,  ,  ，这里所列的各种单元都可由先前的积分器基本线路演化得到。
图2－19 积分器符号图
对于标准椭圆方程
经微分并整理后可得
  （2-13）
其框图如图2-20（a）所示。
对于双曲线的标准方程
经微分并整理后可得
 （2-14）
其框图如图2—20（b）所示。
图2－20 其他函数积分器符号图
（a）椭圆 （b）双曲线 （c）抛物线
抛物线抛物线的方程为
经微分并整理可得
 （2—15）
其框图如图2—20（c）所示。 |
