一、比较积分法
比较积分法又称为脉冲间隔法。我们知道，以积分原理为基础构成的数字积分法，可以灵活地实现各种函数的插补和多坐标直线的插补。但是，由于其溢出脉冲频率与被积函数值大小有关，所以存在着速度调节不便的缺点。相反，逐点比较法由于以判别原理为基础，其进给脉冲是跟随指令运算频率（脉冲源频率）的，因而速度平稳，调节方便，恰恰克服了数字积分法的缺点。但它在某些二次曲线的插补计算上不大方便。如果我们能把两种方法结合起来，吸收各自的优点，就能得到更为理想的脉冲分配方案。比较积分法就是在这种背景下产生的新型脉冲分配方法。
1.比较积分法的原理
我们先用直线插补来说明。在数字积分法的介绍中已经知道，一个函数的定积分可以用矩形公式求和来近似计算。
如果已知一条直线的方程为
 （2－37）
式中  ，  为直线的终点坐标。
对上式求微分得 
如果引入时间变量  ，分别对被积函数 和 进行积分就得到数字积分法的直线插补。我们现在不这样做，而是设法用比较判别的方法来建立两个积分的联系。先将上式改写为
用矩形公式来求积就得到
或  （2-38）
图2-32 脉冲分配序列
此式表明，  方向每发一个进给脉冲，相当于积分值增加一个量 ；  方向每发一个进给脉冲，积分值增加一个量 ，为了得到直线，必须使两个积分相等。
根据式（2-38），我们在时间轴上分别作出x轴和y轴的脉冲序列，如图2-32所示。把时间间隔作为积分增量，轴上每隔一段时间 发出一个脉冲，就得到一个时间间隔 ；y轴上每隔一段时间 发出一个脉冲，就得到一个时间间隔 。在 轴发出 个脉冲后，其总时间间隔为式（2-38）的左边，即
同样，如果 轴上发出了 个脉冲，其总的时间间隔为积分式（2-38）的右边，即
由公式（2-38）可知，要实现直线插补，必须始终保持上述两个积分式相等。为此，与逐点比较法相似，我们引入一个判别函数，所不同的是，这个判别函数定义为 轴脉冲总时间间隔与 轴脉冲总时间间隔之差。用  表示为 
 （2-39）
用一个脉冲源控制运算速度，每发一个脉冲，计算一次 的值，根据 的正负决定下次脉冲应如何进给。即当 >0时，说明 轴输出脉冲时间超前（即多发出 ），这时应控制 轴进行 的累加；若 <0，则说明轴输出脉冲时间超前（即多发了 ），这时应控制 轴进行 的累加；依次进行下去即可实现直线插补。这里，我们通过将两个积分式相比较的办法来实现插补的，所以称为比较积分法。
2. 圆弧插补运算
设一圆以坐标原点为圆心，则其方程为
 （2－40）
考虑起点为  、终点为  的第Ⅰ象限顺圆弧  ，如图2-33所示。
图2-33
对式（2-40）两边微分得
亦即有 
对上式用矩形公式求积就得到
亦即 
令  （即脉冲当量=1）
 ； 
经变量替换，上面的积分求和公式变为
 （2－41）
上式的展开式为
 +（ +1）+（ +2）+…=  +（ -1）+（ -2）+…
图2-34
公式（2-41）表示，若用进给脉冲的时间间隔来描述圆的动点变化规律，则圆函数的脉冲时间间隔在插补过程中是变化的，在某一时刻x轴与y轴进给脉冲时间间隔之比等于动点所在位置圆的半径矢量的x分量与y分量之比。公式（2-41）是公差分别为+1和-1的等差数列，圆就可根据这组等差数列来产生。根据式（2-41）可作出如图2-34所示的第Ⅰ象限顺圆弧进给脉冲分配序列。
同理，不难得出圆函数在不同象限顺、逆时针加工情况下的矩形求和公式。
第Ⅰ、Ⅲ象限顺圆，第Ⅱ、Ⅳ象限逆圆矩形求和公式为
 （2-42）
第Ⅱ、Ⅳ象限顺圆，第Ⅰ、Ⅲ象限逆圆矩形求和公式为
 （2-43）
为实现圆函数插补运算也须要引进判别函数 。所不同的是除偏差运算外，在 轴（或 轴）每发出一个进给脉冲后，还得对被积函数 （或 ）作加1或减1修正。
3.直线及一般二次曲线的插补算法
以类似上述的推导过程，可方便地得到双曲线、椭圆、抛物线等各种二次曲线的插补公式。对于二次曲线来说，可以用时间坐标上的两组等差数列表示其脉冲分配过程，只要改变公差的大小和符号就可以得到各种类型的曲线。
比较积分法的插补步骤与逐点比较法类似，每输出一个脉冲，也须要作偏差判别、坐标进给和新偏差计算等。为叙述方便，综合直线及一般二次曲线的矩形求和公式，我们用  和β分别表示矩形求和公式中 和 轴进给脉冲时间间隔等差数列的公差，用  和  表示 和 轴进给脉冲的时间间隔。显然，对直线而言， 和 的初始值分别为  ，  ；对于圆，则  ，  ，又可以写成 | |, |β|。用  和  值表示 和 轴有无进给脉冲，即 =1，表示 轴走一步， =1，表示 轴走一步。于是，比较积分法的插补步骤如下：
（1） 确定基础轴。这是通过比较 轴和 轴的进给脉冲间隔 和 进行的。插补时取脉冲间隔小（脉冲密度高）的轴作为基础轴。即  时，取 为基础轴；反之，取 为基础轴。
（2） 脉冲源每发出一个脉冲，基础轴都走一步（即每拍运算，基础轴都走一步），非基础轴是否同时走一步则根据判别函数 来决定。
在以 轴为基础轴的情况下：
当  时， =1, =1；
当  时， =1, =0。
若以 轴为基础轴，则
时， =1， =1；
时， =0, =1。
（3） 坐标进给之后，须根据前述公式再计算新的偏差值 。以直线为例：
当 和 轴同时进给（ =1, =1）时，新偏差值
当仅 轴进给时，新偏差值
（4） 在每次 和 轴进给之后，须对时间间隔 和 进行修正（显然，因直线的 =  =0，故直线插补时， 和 无须修正）：
当 =1时,  ；
当 =1时,  。
（5） 判别是否改变基础轴。当改变基础轴时，作 =- 运算。
（6） 过象限处理。当曲线过象限时，修正进给轴方向。
（7） 终点判别。当 = ，并且y= 时，插补结束，否则重复执行上述各步骤。
下面举一例说明其插补过程。
试用比较积分法插补第Ⅰ象限直线  ，起点  在坐标原点，终点为  （11，5）。
解 由于 > ，即 轴的脉冲密度高，或者说 轴的脉冲间隔 小于 轴的脉冲时间间隔 （ < ），因此 轴应取为基础轴。每次运算后 轴都应发出一个脉冲（即走一步），然后根据运算结果决定y轴是否同时要走一步。
已知  =0，  = =5，  = =11，其计算过程如下：
（1） =0，走 ，  = + =0+5=5
（2） >0，走 , ,  = - + =5-11+5=-1
（3） <0，走 ，  = + =-1+5=4
（4） >0，走 ，  = - + =4-11+5=-2
（5） <0，走 ，  = + =-2+5=3
（6） >0，走 ， ，  = - + =3-11+5=-3
（7） <0，走 ，  = + =-3+5=2
（8） >0，走 ， ，  = - + =2-11+5=-4
（9） <0，走 ，  = + =-4+5=1
（10） >0，走 ， ，  = - + =1-11+5=-5
（11） <0，走 ，  = + =-5+5=0
图2-35比较积分法直线插补轨迹此题计算时是将 =0归于 <0一类。插补轨迹如图2-35所示。
图2-35比较积分法直线插补轨迹
二、 直接函数运算法（DFB）
直接函数运算法属于最小偏差法的一种。它与逐点比较法类似，是一种代数运算方法。但它的进给方式不像逐点比较法那样或 方向或 方向急剧变化，这对机械部分是有利的，特别是可以改善步进电机的谐振现象。另外，直接函数法可以比较并选择误差较小的一个进给方向，这也是它的一个优点。因为直接函数法每插补一步要试算两个方向并作比较。
图2-36 比较积分法直线插补轨迹
1.直线插补
（1） 卦限的划分。直接函数法将直角坐标的每个象限都用45°斜线分成2个区域，如图2-36所示。图2-36卦限的划分4个象限共分为8个区域，称为8个卦限，用0～7表示。对某一卦限内的直线进行插补时，只有  和 ，  两种可能的进给方向。对于第Ⅰ象限的右下区域即“0”卦限来讲，直线插补时或是 方向走一步，或是 与 方向同时走一步。对于“1”卦限的直线插补，或是 方向走一步，或是 与 方向同时走一步。引入 和 坐标系的目的是将8个卦限的进给都统一用“0”卦限内的u和v坐标来计算，以简化插补程序，缩短运算时间。对8个卦限中的直线，这种坐标变换关系如表2－9所示。
表2-9 直线插补的坐标变换
|
卦 限 |
u |
v |
|
0 |
+x |
+x, +y |
|
1 |
+y |
+x, +y |
|
2 |
+y |
-x, +y |
|
3 |
-x |
-x, +y |
|
4 |
-x |
-x, -y |
|
5 |
-y |
-x, -y |
|
6 |
-y |
+x, -y |
|
7 |
+x |
+x, -y |
图2－37 “0”卦限的直线
（2） 误差函数与进给方向。图2－37中所示“0”卦限的直线终点为  和  ，直线方程为 
引入误差函数  =  -  ，显然，对于直线上的所有点均满足下式： = - =0
对直线上方的点  0
对直线下方的点  0
当  0时，往+ 方向进给一步，误差函数的变化为
 =  -
= -  - 
=- （2-44）
当 0时，往+ 和+ 方向同时进给一步，误差函数的变化为
 =  -
=  - -
=  （2-45）
在插补过程中，引入进给循环变量  可得
（ +1）= （ ）+ 
因插补是从坐标原点开始的，故 （0）=0。在 方向进行终点判别，当  = 时，直线到达终点，插补工作完成。
图2-38是对 =30， =4的“0”卦限直线进行插补的例子。为了直观，图中的脉冲当量取得很大。从图中可以看出，进给方向的变化不是90°而是45°。
图2－38“0”卦限的直线插补轨迹
为了减小插补误差，实际的DFB法还可以进一步对两个可能的进给方向作试算与比较，并选择一个误差最小的方向进给。
若往 方向进给一步，误差函数将为
若 和 方向同时都进给一步，误差函数将为
将式（2-44）和式（2-45）分别代入上两式中，可得到两个试算结果，将它们的绝对值进行比较，以决定应向哪个方向进给。
当|  |  |  |时， +1次进给应为 方向；
当| | | |时， +1次进给应为 和 方向（即各进给一步）。
2．圆弧插补
图2-39是第Ⅰ象限的逆时针方向圆弧，圆心在  坐标系的原点。参考圆的方程，引进误差函数  用来选择适当的进给方向。
对于圆弧上的点
=0 （2-46）
对于圆外的点
 0
对于圆内的点
0
图2-39第Ⅰ象限圆弧
图2-40圆弧插补各卦限的进给方向
为了使进给方向每次最多改变45°，仍旧划分0～7共8个卦限，将各卦限内的圆弧插补，都统一用“0”卦限的公式进行计算。每个卦限中又都有顺时针圆弧和逆时针圆弧两种情况，8个卦限中顺圆与逆圆的进给方向标在图2-40中，均用 和 ， 代表。它们在 坐标系中的实际进给方向可根据卦限及圆弧走向用表2-10进行变换。显然，当每次插补运算时，除判断是否到达终点外，还要判断是否到达卦限的边界。如图2-39中第Ⅰ象限的逆圆在“0”卦限限时，它是沿+ 向或- 和+ 向进给的，到达“1”卦限的边界后，应改为沿- 向或- 和+ 向进给。
表2-10 直线插补时进给方向的坐标变换
|
卦 限 |
顺 时 针 圆 弧 |
逆 时 针 圆 弧 |
|
v |
u,v |
v |
u,v |
|
0 |
-y |
+x, -y |
+y |
-x, +y |
|
1 |
+x |
+x, -y |
-x |
-x, +y |
|
2 |
+x |
+x, +y |
-x |
-x, -y |
|
3 |
+y |
+x, +y |
-y |
-x, -y |
|
4 |
+y |
-x, +y |
-y |
+x, -y |
|
5 |
-x |
-x, +y |
+x |
+x, -y |
|
6 |
-x |
-x, -y |
+x |
+x, +y |
|
7 |
-y |
-x,-y |
+y |
+x, +y |
将公式（2-46）转换为 和 坐标，并在“0”卦限中推导误差函数的变化。对逆时针圆弧，当 0时，应走+  和- ；当 0时，应走+ 。当往+ 走一步时
= 
=2 +1 （2-47）
而往- 与+ 向同时走一步时
 = 
= 
=-2  （2-48）
对顺时针圆弧，则或者走- （ 0时），或者走+ 和- （ 0时）。当往- 向走一步时，可求出
 =-2 +1 （2-49）
往+ 与- 向同时走一步时，可求出
 =2 -2 +2 （2-50）
引入循环变量 可得
（ +1）= （ ）+Δ （ +1）
当 =0时，为圆弧上的起始点（如图2-39中的 点）。此时 （0）=0。
当 （ ） 0时，轨迹到达圆外。此时，对于“0”或偶数卦限的逆时针圆弧及奇数卦限的顺时针圆弧， +1次进给应为 和 方向。对于奇数卦限逆时针圆弧及“0”或偶数卦限顺时针圆弧， +1次进给应为 方向。
当 （ ） 0时，轨迹则到达圆上或进入圆内。此时，对“0”或偶数卦限的逆时针圆弧及奇数卦限的顺时针圆弧， +1次进给应为 方向。对于奇数卦限的逆时针圆弧及“0”或偶数卦限的顺时针圆弧， +1次进给应为 和 方向。
以上各种情况下的实际进给方向，可参照表2-10得到。误差函数计算统一使用“0”卦限中推导的公式（2-47）、（2-48）（逆时针圆弧）或（2-49）、（2-50）（顺时针圆弧）。为此，要统一变换为 和 坐标，且 和 坐标的走向与实际进给方向的关系要与图2-40中“0”卦限情况一样。
除根据误差函数、卦限及圆弧走向判断本次应进给的方向外，插补运算还包括下列步骤：
（1） 计算  F（i+1）；
（2） 修正并得到新的坐标值u（i+1）和v（i+1）；
（3） 存入应进给方向的符号；
（4） 计算误差函数F（i+1）；
（5） 检查进给后是否到达卦限的边界；
（6） 检查进给后是否到达预定圆弧的终点。
除了直线插补与圆弧插补外，DFB法还可以推广到用方程
描述的一般二次曲线。但由于在计算误差函数时，要与各系数作乘法运算，将使插补运算的速度显著变慢。在这种情况下，只好损失一些进给速度，而对于像抛物线这种二次曲线的特例，用直接函数法进行插补运算的速度则与圆弧插补时相当。此外，DFB法也可以推广到极坐标。这时，阿基米德螺旋线的插补可以归并为直线插补。
以上介绍了常用的几种基准脉冲插补法和数据采样插补法。在实际使用中还会见到上述一些插补算法的变形算法或扩展算法，如最小偏差法、单步追赶法、方向余弦法等等。读者需要时可参阅有关文献资料。
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