前面几节介绍的逐点比较法、数字脉冲乘法器法和数字积分法插补方法，都有一个共同的特点，就是插补计算的结果是以一个一个脉冲的方式输出给伺服系统，或者说产生的是单个的行程增量，因而统称为脉冲增量插补法或基准脉冲插补法，这种方法既可用于CNC系统，又常见于NC系统，尤其适于以步进电机为伺服元件的数控系统。
在CNC系统中较广泛采用的另一种插补计算方法即所谓数据采样插补法，或称为时间分割法。它尤其适合于闭环和半闭环以直流或交流电机为执行机构的位置采样控制系统。这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔（或插补周期）。每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边加工，直至加工终点。
与基准脉冲插补法不同，采用数据采样法插补时，在加工某一直线段或圆弧段的加工指令中必须给出加工进给速度v，先通过速度计算，将进给速度分割成单位时间间隔的插补进给量  （或称为轮廓步长），又称为一次插补进给量。例如，在FANUC 7M系统中，取插补周期为8 ms，若v的单位取mm/min，  的单位取  /8 ms，则一次插补进给量 可用下列数值方程计算：
 
按上式计算出一次插补进给量 后，根据刀具运动轨迹与各坐标轴的几何关系， 就可求出各轴在一个插补周期内的插补进给量，按时间间隔（如8 ms）以增量形式给各轴送出一个一个插补增量，通过驱动部分使机床完成预定轨迹的加工。
由上述分析可知，这类算法的核心问题是如何计算各坐标轴的增长数  或  （而不是单个脉冲），有了前一插补周期末的动点位置值和本次插补周期内的坐标增长段，就很容易计算出本插补周期末的动点命令位置坐标值。对于直线插补来讲，插补所形成的轮廓步长子线段（即增长段）与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。而在圆弧插补中，因要用切线或弦线来逼近圆弧，因而不可避免地会带来轮廓误差。其中切线近似具有较大的轮廓误差而不大采用，常用的是弦线逼近法。
有时，数据采样插补是分两步完成的，即粗插补和精插补。第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，粗插补在每个插补计算周期中计算一次。第二步为精插补，它是在粗插补计算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
目前常用的数据采样方法有两种，分别出自于FANUC 7M和A-B公司的7360系统。在7M系统中，插补周期为8 ms，位置反馈采样周期为4 ms，即插补周期为位置采样周期的2倍，它以内接弦进给代替圆弧插补中的弧线进给。在A-B公司的7300系列中，插补周期与位置反馈采样周期相同，插补算法为扩展DDA算法。下面分别介绍这两种系统的时间分割插补算法。
一、7M系统中采用的时间分割法
1．直线插补
设要求刀具在  平面中作如图2-28所示的直线运动。在这一程序段中，x和y轴的位移增量分别为  和  。插补时，取增量大的作长轴，小的为短轴，要求x和y轴的速度保持一定的比例，且同时终点。
设刀具移动方向与长轴夹角为  ，  为一次插补的进给步长 。根据程序段所提供的终点坐标  （ ， ），可以确定出
图2-28 时间分割法直线插补
 和 
从而求得本次插补周期内长轴的插补进给量为
 （2-17）
导出其短轴的进给量为
 （2-18）
2．圆弧插补
如图2－29所示，顺圆弧  为待加工曲线，下面推导其插补公式。在顺圆弧上的  点是继  点之后的插补瞬时点，两点的坐标分别为  ，  。所谓插补，在这里是指由点
求出下一点 ，实质上是求在一次插补周期的时间内，x轴和y轴的进给量 和 。图中的弦  正是圆弧插补时每个周期的进给步长 ，  是 点的圆弧切线，  是弦的中点。显然，  ⊥  ，  是 的中点，而  ⊥ 。由此，圆心角具有下列关系：
 （2-19）
图2-29时间分割法圆弧插补
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式中δ为进给步长 所对应的角增量，称为角步距。由于 △  ～△ 
所以 ∠ =∠ = 
显然 
因此
在△MOD中
将
 =  ；  =  ；
代入上式，则有
 （2-20）
因为
而
 ; 
又可以推出 和 ， 和 的关系式：
 （2-21）
上式充分反映了圆弧上任意相邻两点的坐标间的关系。只要找到计算 和 的恰当方法，就可以按下式求出新的插补点坐标：
 （2-22）
所以，关键是求解出 和 。事实上，只要求出tg 值，根据函数关系便可求得 ， 值，进而求得  ，  值。
由于式（2-20）中的sin 和cos 均为未知数，要直接算出tg 很困难。7M系统采用的是一种近似算法，即以cos45°和sin45°来代替cos 和sin ，先求出
 （2-23）
再由关系式
（2-24）
进而求得
 （2-25）
由式（2-23）、（2-24）、（2-25）求出本周期的位移增量 后，将其与已知的坐标值xi，yi代入式（2-21），即可求得 值。在这种算法中，以弦进给代替弧进给是造成径向误差的主要原因。
二、 7360系统中采用的时间分割法
美国AB公司的7360 CNC系统采用了扩展的DDA采样插补算法，系统的插补周期与位置反馈采样周期相同，均为10.24 ms，通过10.24 ms的实时时钟中断来实现。
图2-30 扩展DDA直线插补
1.扩展DDA直线插补
假设根据编程的进给速度，要在时间段T内走完图2-30所示的直线段OE，终点为E（ , ），起点在原点
 （0,0）。图中的  和  分别为速度  的  和  坐标分量。由图中的三角形比例关系，可得
 （2-26）
 （2-27）
将时间区间T用采样周期  分割为n个子区间（n取   最接近的整数），从而在每个采样周期 内的坐标增量分别为
 （2-28）
 （2-29）
式中 ——所要求的进给速度；
FRN——进给速率数，公式为
对于同一条直线来说，由于 和 ， ，以及 均为已知常数，因此式中的FRN和 均为常数，可以记作  =FRN 。故同一条直线的每个采样周期内增量 和 的常数（即步长系数 ）均相同。在每个采样周期算出的 和 基础之上，就可以得到本采样周期末的刀具位置坐标 和 值，即
 （2-30）
 （2-31）
从式（2－28）和（2－29）也可看出，直线插补中各坐标轴的进给步长 和 分别为轮廓步长（即子线段）的轴向分量，其大小仅仅随着进给速率编程值FRN或 变化。
由于直线插补中每次迭代形成的子线段的斜率（ / ）等于给定的直线斜率，从而保证了轨迹要求。
2．扩展DDA圆弧插补
图2－31所示为第Ⅰ象限顺圆弧段 ，圆弧方程为 
图3-31 扩展DAA圆弧插补
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设现时刀具处在  点的位置。若在一个采样周期 内，刀具沿切线方向的轮廓进给步长为 ，即进给一步后应到达  点，显然，  的长度为 。由图可见，它的径向误差是较大的。扩展DDA算法并不是让刀具沿切线进给，而是将切线逼近圆弧的方法转化为弦线逼近法。
如果我们通过  线段的中点 作半径为  的圆弧的切线  ，再通过  点作 的平行线  ，即 ∥ ，并在 上截取  = = （容易证明  点必不在圆弧侧）。扩展DDA就是用线段 进给来代替 的切线段进给，即扩展DDA在一个采样周期内计算的结果，应是刀具从 点沿弦线走到 点（而不是沿切线走到 点）。显然，这样进给使径向误差减小了。
现在我们就来计算在采样周期 内的轮廓进给步长 之坐标分量  和  值，得到了此两值，就很容易得到本次采样周期后应达到的坐标位置 。
由图2-31可见，在直角△  中
 （2-32）
 （2-33）
设刀具以恒速进给，即在每个采样周期 内的进给速度均为 ，显然， = =  。过 点作 轴的平行线  交 轴于  点，交  线段于  点。可以看出，直角△  与直角△  相似，从而有比例关系：
 （2-34）
式中  = ； 
在直角△  中
因此
在直角△  中
将以上各式代入式（2-34），有
将式（2-32）代入上式并整理，得
因为  ，故将  略去不计，则上式为 
若令
则
 （2-35）
在上述两相似三角形的关系中，还有下式成立：
即
已知
由直角△ 得
而  = ，因此
 = 
同理，因 ，故略去 不计，则
仍记
则
 （2-36）
由于 为已知，故利用式（2－35）和（2－36）很容易求得 和 值。有了此两值，就可算出本次采样周期刀具应达到的坐标位置 和 值，即
依照此原理，读者不难得出其他象限及其他走向的圆弧插补之计算公式。这里不再赘述。 |
